Rozrywki matematyczne i nie tylko

Ważenie na wadze dźwigniowej

Zacznijmy od konstrukcji dźwigniowej wagi szalkowej. Poniższy rysunek przedstawia jej schemat.

Waga składa się z belki, szalek oraz wskaźnika równowagi, który w klasycznej wadze kuchennej ma postać dwóch języczków. Belka i szalki wsparte są na ostrzach pryzmatów, co ogranicza do minimum wpływ tarcia i pozwala na dokładne określenie długości ramion. Waga jest rodzajem dźwigni dwuramiennej o ramionach równych r₁ i r₂. W stanie równowagi zachodzi równość momentów sił pochodzących od ważonej masy m_x i masy odważników m → równanie (2):

  (2)

gdzie:
g - przyspieszenie ziemskie.

W przypadku wagi dźwigniowej o równych ramionach (r₁ = r₂) masa ważona równa się masie odważników i nie zależy od tego, na której szalce jest położony przedmiot ważony.

Rozwiązanie zadania

W rozpatrywanym zadaniu różne wyniki ważenia świadczą o tym, że długość ramion wagi nie była jednakowa. Podzielmy obydwie strony równania (2) przez przyspieszenie ziemskie g. Mamy teraz odpowiednio dla pierwszego i drugiego ważenia:

Po pomnożeniu stronami równania (3) i (4), otrzymamy:

Wynik powyższych obliczeń mówi, że prawdziwa masa przedmiotu ważonego na wadze o nierównych ramionach jest równa średniej geometrycznej, nie średniej arytnetycznej, dwóch ważeń na obydwu szalkach oraz że reklamacja była uzasadniona i mężczyzna mówił prawdę — mąka w obydwu torebkach waży 1,8 kg.

Ważenie na wadze dźwigniowej

Na szalce wagi należy położyć jeden (1) krążek z pierwszego stosu, dwa (2) krażki z drugiego, trzy (3) krążki z trzeciego i cztery (4) z czwartego. W ten sposób na szalce znajdzie się dziesięć (10) krążków, wśród których może być jeden, dwa, trzy lub cztery lżejsze krążki.

Gdyby wszystkie krążki miały jednakowy ciężar, to wynik ważenia byłby 100 gramów. W naszym przypadku wynik ważenia może być następujący:

1. 99 gramów → 100 g - 99 g = 1 g = 1 x 1 g → lżejsze krążki w pierwszym stosie,
2. 98 gramów → 100 g - 98 g = 2 g = 2 x 1 g → lżejsze krążki w drugim stosie,
3. 97 gramów → 100 g - 97 g = 3 g = 3 x 1 g → lżejsze krążki w trzecim stosie,
4. 96 gramów → 100 g - 96 g = 4 g = 4 x 1 g → lżejsze krążki w czwartym stosie.

Tak więc znając wynik ważenia możemy ustalić, który stos zawiera lżejsze krążki.

Fałszywa kostka do gry

Na każdej szalce wagi należy położyć po dwie kostki. Możliwe są dwa wyniki tego pierwszego ważenia:

1. stan równowagi:
   

   

2. stan nierównowagi:
   

   

Stan równowagi oznacza, że na szalkach były dobre kostki, a fałszywą kostką jest piąta kostka, która nie znalazła się na wadze. Aby odpowiedzieć na pytanie zadania należy teraz na jednej szalce położyć fałszywą kostkę, a na drugiej jedną z czterech dobrych kostek użytych w pierwszym ważeniu. Teraz jedyny możliwy wynik drugiego ważenia to stan nierównowagi:

Jeżeli fałszywa kostka leży na dolnej szalce, to jest ona cięższa od dobrej kostki, w przeciwnym przypadku jest lżejsza.

Stan nierównowagi w pierwszym ważeniu oznacza, że kostka, która nie znalazła się na wadze jest dobra i na jednej z szalek była fałszywa kostka. Nie wiadomo na której, bo nie wiemy na razie, czy jest ona lżejsza czy cięższa od dobrej kostki. Jeżeli masę kostki dobrej oznaczymy jako a, a fałszywej jako b, to warianty tego stanu nierównowagi możemy opisać nierównościami (1) i (2):

Teraz w drugim ważeniu na jednej szalce kładziemy jedną z kostek, które w pierwszym ważeniu były na dolnej szalce, która przeważała, a na drugiej szalce drugą z nich.

Stan nierównowagi w tym ważeniu oznacza natomiast, że w pierwszym ważeniu na górnej szalce były dwie dobre kostki, a na dolnej kostka dobra i fałszywa, czyli że jest ona cięższa od dobrej kostki (1), a stan równowagi, że w pierwszym ważeniu na dolnej szalce były dwie dobre kostki, a na górnej szalce kostka dobra i fałszywa, czyli że jest ona lżejsza od dobrej kostki (2).

Podział tortu

Rozwiązanie na rysunkach poniżej.

Jedno cięcie jest potrzebne do podzielenia tortu poziomo na dwie części i dwa cięcia - do podzielenia pionowo na cztery części. Smacznego!