cojak.net.pl

Rozrywki matematyczne i nie tylko

Matematyka jest to królowa wszystkich nauk, jej ulubieńcem jest prawda, a prostość i oczywistość jej strojem... Matematyka, która tyle zrobiła przysług towarzystwu, naukom i sztukom, stanie się jeszcze wodzem ludzkiego umysłu we wszystkich poznawaniach.
{Jan Śniadecki, 1756-1830}

Matematyka jest piękną dziedziną nauki. Nie ma w niej miejsca na ideologię, jak np. w naukach humanistycznych i społecznych. Wyniki i sukces można osiągnąć dzięki wysiłkowi intelektualnemu — rzetelnej wiedzy, logicznemu myśleniu i niekonwencjonalnej wyobraźni. Zajmowanie się matematyką nie musi być tylko pracą, może być też przygodą intelektualną, ale i formą rozrywki związanej z gimnastyką umysłową - łamigłówkami.

Zadanie liczbowe 661

Plansza tego zadania składa się z sześciu wierszy. Wiersze od 1 do 5 zawierają liczby, z których tylko niektóre są widoczne. W drugiej skrajnej kolumnie po prawej stronie pokazane są sumy Si iloczynów zawartości kratek w wierszach:

Suma iloczynów  (1)

Liczby w kratkach tej kolumny mogą zmieniać się w zależności od liczb wpisywanych do pustych kratek danego wiersza. W prawej, skrajnej kolumnie podane są ustalone wartości sumy Si.

(1) Zadanie 661
a11 a12 a13 a14 a15 a16 S1 160
a21 a22 a23 a24 a25 a26 S2 170
a31 a32 a33 a34 a35 a36 S3 170
a41 a42 a43 a44 a45 a46 S4 140
a51 a52 a53 a54 a55 a56 S5 80
a61 a62 a63 a64 a65 a66 S6 102

Zadanie to polega na wpisaniu liczb napierw do pustych kratek wierszy od 1 do 5 w taki sposób, aby sumy Si w przedostatniej kolumnie po prawej stronie były równe wartościom w ostatniej kolumnie. Po zrobieniu tego i uważnemu przyjrzeniu się otrzymanemu obrazowi planszy, należy uzupełnić odpowiednimi liczbami puste kratki ostatniego wiersza.

(2) Zadanie 661
1 50 2 25 3 20 160
2 25 3 20 4 15 170
3 20 4 15 5 10 170
4 15 5 10 6 5 140
5 10 6 5 7 0 80
5 9 102

  


Aby zobaczyć rozwiązanie zadania kliknij →   Rozwiązanie zadania 661



Sprawdzian spostrzegawczości

Inna pszczółka

Pszczółki: zagadka

Aby zobaczyć rozwiązanie zagadki, kliknij dwa razy na obrazku.

Pszczółki: rozwiązanie zagadki

Aby schować rozwiązanie zagadki, kliknij jeden raz na obrazku.



Zrzut skoczka

Zadaniem skoczka jest wylądowanie w kwadracie, którego powiększenie pokazano na rys. 1. Należy znaleźć ten kwadrat na mapie na rys. 2.

Rejon zrzutu skoczka
Rys. 1. Rejon zrzutu skoczka w powiększeniu.

Rejon zrzutu skoczka
Rys. 2. Mapa z rejonem zrzutu skoczka.


Aby zobaczyć odpowiedź kliknij →   Test spostrzegawczości: 
    rejon zrzutu skoczka



Ważenie — temat ważny dla poważnych

Ważenie było zawsze ważną czynnością. Wagi i odważniki miały swoje miejsce w kuchniach, stały na każdej ladzie sklepowej, można je było zobaczyć w sklepach jubilerskich, aptekach i laboratoriach. Dzisiaj, kiedy kupuje się wyroby porcjowane oraz wstępnie przygotowane i gotowe do spożyciam kuchenne wagi szalkowe spotyka się rzadziej, ale ważenie stanowi nadal wdzięczny przedmiot łamigłówek umysłowych.

Reklamacja

Gospodyni kupiła w sklepie dwie kilogramowe torebki mąki. Po przyjściu do domu zważyła je na swojej kuchennej wadze szalkowej i stwierdziła, że ważą mniej niż 2 kg. Wróciła więc do sklepu i złożyła reklamację. Sprzedawczyni uznała ją za nieuzasadnioną. Przysłuchujący się sporowi mężczyzna zaproponował powtórne ważenie obydwu torebek. Sprzedawczyni położyła torebki z mąką na lewej szalce, a odważniki na prawej. Wynik ważenia był 1,9 kg. Mężczyzna przełożył torebki na prawą szalkę, a odważniki położył na lewej. Wynik ważenia był teraz 1,7 kg. Teraz mężczyzna wyjął smartfon i na jego kalkulatorze wykonał jakieś obliczenia i powiedział: W torebkach jest tylko 1,8 kg mąki. Czy mężczyzna miał rację?

Dwie torebki

Aby zobaczyć odpowiedź na to pytanie kliknij → 

×

Ważenie na wadze dźwigniowej

Zacznijmy od konstrukcji dźwigniowej wagi szalkowej. Poniższy rysunek przedstawia jej schemat.

Schemat wagi szalkowej

Waga składa się z belki, szalek oraz wskaźnika równowagi, który w klasycznej wadze kuchennej ma postać dwóch języczków. Belka i szalki wsparte są na ostrzach pryzmatów, co ogranicza do minimum wpływ tarcia i pozwala na dokładne określenie długości ramion. Waga jest rodzajem dźwigni dwuramiennej o ramionach równych r1r2. W stanie równowagi zachodzi równość momentów sił pochodzących od ważonej masy mx i masy odważników m → równanie (2):

Równanie równowagi dźwigniowej wagi szalkowej  (2)

gdzie:
g - przyspieszenie ziemskie.

W przypadku wagi dźwigniowej o równych ramionach (r1 = r2) masa ważona równa się masie odważników i nie zależy od tego, na której szalce jest położony przedmiot ważony.

Rozwiązanie zadania

W rozpatrywanym zadaniu różne wyniki ważenia świadczą o tym, że długość ramion wagi nie była jednakowa. Podzielmy obydwie strony równania (2) przez przyspieszenie ziemskie g. Mamy teraz odpowiednio dla pierwszego i drugiego ważenia:

Równania dla pierwszego i drugiego ważenia

Po pomnożeniu stronami równania (3) i (4), otrzymamy:

Wyliczenie prawdziwej ilości zakupionej mąki

Wynik powyższych obliczeń mówi, że prawdziwa masa przedmiotu ważonego na wadze o nierównych ramionach jest równa średniej geometrycznej, nie średniej arytnetycznej, dwóch ważeń na obydwu szalkach oraz że reklamacja była uzasadniona i mężczyzna mówił prawdę — mąka w obydwu torebkach waży 1,8 kg.




Fałszywe złote krążki

Są cztery stosy złotych krążków. Każdy stos zawiera 5 krążków. W trzech stosach każdy krążek waży 10 gramów, a w czwartym stosie 9 gramów. W jaki sposób można za pomocą jednego ważenia na wadze szalkowej z użyciem odważników ustalić, który stos zawiera lżejsze krążki?

4 stosy po 5 złotych krążków


Aby zobaczyć odpowiedź na to pytanie kliknij → 

×

Ważenie na wadze dźwigniowej

Na szalce wagi należy położyć jeden (1) krążek z pierwszego stosu, dwa (2) krażki z drugiego, trzy (3) krążki z trzeciego i cztery (4) z czwartego. W ten sposób na szalce znajdzie się dziesięć (10) krążków, wśród których może być jeden, dwa, trzy lub cztery lżejsze krążki.

10 złotych krążków do położenia na szalce wagi

Gdyby wszystkie krążki miały jednakowy ciężar, to wynik ważenia byłby 100 gramów. W naszym przypadku wynik ważenia może być następujący:

  1. 99 gramów → 100 g - 99 g = 1 g = 1 x 1 g → lżejsze krążki w pierwszym stosie,
  2. 98 gramów → 100 g - 98 g = 2 g = 2 x 1 g → lżejsze krążki w drugim stosie,
  3. 97 gramów → 100 g - 97 g = 3 g = 3 x 1 g → lżejsze krążki w trzecim stosie,
  4. 96 gramów → 100 g - 96 g = 4 g = 4 x 1 g → lżejsze krążki w czwartym stosie.

Tak więc znając wynik ważenia możemy ustalić, który stos zawiera lżejsze krążki.




Fałszywa kostka do gry

Mamy pięć kostek, z których jedna jest fałszywa, cięższa albo lżejsza od pozostałych. Jak można ustalić za pomocą dwóch ważeń na wadze dźwigniowej bez odważników, czy fałszywa kostka jest cięższa czy lżejsza od dobrej kostki?

Kostki do gry


Aby zobaczyć odpowiedź na to pytanie kliknij → 

×

Fałszywa kostka do gry

Na każdej szalce wagi należy położyć po dwie kostki. Możliwe są dwa wyniki tego pierwszego ważenia:

  1. stan równowagi:

    Kostki na wadze szalkowej 2x2 - stan równowagi

  2. stan nierównowagi:

    Kostki na wadze szalkowej 2x2 - stan nierównowagi

Stan równowagi oznacza, że na szalkach były dobre kostki, a fałszywą kostką jest piąta kostka, która nie znalazła się na wadze. Aby odpowiedzieć na pytanie zadania należy teraz na jednej szalce położyć fałszywą kostkę, a na drugiej jedną z czterech dobrych kostek użytych w pierwszym ważeniu. Teraz jedyny możliwy wynik drugiego ważenia to stan nierównowagi:

Kostki na wadze szalkowej 1x1 - stan nierównowagi

Jeżeli fałszywa kostka leży na dolnej szalce, to jest ona cięższa od dobrej kostki, w przeciwnym przypadku jest lżejsza.

Stan nierównowagi w pierwszym ważeniu oznacza, że kostka, która nie znalazła się na wadze jest dobra i na jednej z szalek była fałszywa kostka. Nie wiadomo na której, bo nie wiemy na razie, czy jest ona lżejsza czy cięższa od dobrej kostki. Jeżeli masę kostki dobrej oznaczymy jako a, a fałszywej jako b, to warianty tego stanu nierównowagi możemy opisać nierównościami (1) i (2):

Nierówność dla stanu nierównowagi w pierwszym ważeniu

Teraz w drugim ważeniu na jednej szalce kładziemy jedną z kostek, które w pierwszym ważeniu były na dolnej szalce, która przeważała, a na drugiej szalce drugą z nich.

Stan nierównowagi w tym ważeniu oznacza natomiast, że w pierwszym ważeniu na górnej szalce były dwie dobre kostki, a na dolnej kostka dobra i fałszywa, czyli że jest ona cięższa od dobrej kostki (1), a stan równowagi, że w pierwszym ważeniu na dolnej szalce były dwie dobre kostki, a na górnej szalce kostka dobra i fałszywa, czyli że jest ona lżejsza od dobrej kostki (2).




Wyślij komentarz:koperta